HBC16673[NOIP2006]2^k进制数题解

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设r是个2k进制数，并满足以下条件： r至少是个2位的2k进制数， 作为2k进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位， 将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w， 在这里，正整数k和w是事先给定的， 问：满足上述条件的不同的r共有多少个？，高位为6：1个（即67），共6+5+…+1=21个， 3位数：高位只能是1，第2位为2：5个，第2位为3：4个，…+1=15个， 所以，满足要求的r共有36个。

设r是个2k进制数，并满足以下条件： （1）r至少是个2位的2k进制数。 （2）作为2k进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。 （3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。 在这里，正整数k（ 1 ≤ k ≤ 9 ）和w（ k < w ≤ 30000 ）是事先给定的。 问：满足上述条件的不同的r共有多少个？ 我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2k进制数r。 例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（23=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有： 2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。 3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。 所以，满足要求的r共有36个。

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