HBC21251填数游戏题解

天涯离梦残月幽梦 算法基础篇 60 0
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小D特别喜欢玩游戏,这一天,他在玩一款填数游戏, 这个填数游戏的棋盘是一个的矩形表格,玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字(数字0或者数字1),填数时需要满足一些限制, 下面我们来具体描述这些限制, 为了方便描述,我们先给出一些定义: 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子,即(行坐标,列坐标),(注意:行列坐标均从0开始编号) 合法路径P:一条路径是

小D特别喜欢玩游戏。这一天,他在玩一款填数游戏。 这个填数游戏的棋盘是一个的矩形表格。玩家需要在表格的每个格子中填入一个数字(数字0或者数字1),填数时需要满足一些限制。 下面我们来具体描述这些限制。 为了方便描述,我们先给出一些定义: • 我们用每个格子的行列坐标来表示一个格子,即(行坐标,列坐标)。(注意:行列坐标均从0开始编号) • 合法路径P:一条路径是合法的当且仅当: 1. 这条路径从矩形表格的左上角的格子出发,到矩形的右下角格子 结束; 2. 在这条路径中,每次只能从当前的格子移动到右边与它相邻的格子,或者从当前格子移动到下面与它相邻的格子。 例如:在下面这个矩形中,只有两条路径是合法的,它们分别是Pi: (0, 0) → (0, 1) → (1, 1)和P2:(0, 0) → (1, 0) → (1, 1) 对于一条合法的路径P,我们可以用一个字符串w(P)来表示,该字符串的长度为n + m - 2,其中只包含字符“R”或者字符“D”,第i个字符记录了路径P中第i步的移动方法,“R”表示移动到当前格子右边与它相邻的格子,“D”表示移动到当前格子下面与它相邻的格子。例如,上图中对于路径P1,有w(P1) = "RD";而对于另一条路径P2,有w(P2) = "DR"。 同时,将每条合法路径P经过的每个格子上填入的数字依次连接后,会得到一个长度为n + m - 1的01字符串,记为s(P)。例如,如果我们在格子(0, 0)和(1, 0)上填入数字0,在格子(0, 0)和(1, 1)上填入数字1(见上图红色数字)。那么对于路径P1,我们可以得到s(P1) = "011",对于路径P2,有s(P2) = "001"。 游戏要求小D找到一种填数字0、1的方法,使得对于两条路径P1,P2,如果w(P1) > w(P2) ,那么必须s(P1) <= s(P2)。我们说字符串a比字符串b小,当且仅当字符串a的字典序小于字符串b的字典序,字典序的定义详见第一题。但是仅仅是找一种方法无法满足小D的好奇心,小D更想知道这个游戏有多少种玩法,也就是说,有多少种填数字的方法满足游戏的要求? 小D能力有限,希望你帮助他解决这个问题,即有多少种填0、1的方法能满足题目要求。由于答案可能很大,你需要输出答案对109 + 7取模的结果。

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